Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris
Pada subbab ini akan ditunjukkan bahwa determinan dari Matriks bujursangkar dapat dihitung dengan mereduksi matriks tersebut menjadi bentuk eselon baris. Metode ini penting karena kita tidak perlu melakukan perhitungan yang panjang sebagaimana jika kita menerapkan definisi determinan secara langsung.
TEOREMA DASAR. sebagaimana telah kita ketahui, definisi determinan berguna untuk membuktikan teorema mengenai determinan, tetapi definisi ini tidak memberikan cara yang praktis untuk perhitungannya, khususnya bagi determinan dari matriks-matriks yang lebih besar dari 3 x 3. Oleh karena itu, kita akan mulai dengan teorema dasar yang akan merayakan kita kepada prosedur yang lebih efisien untuk mengitung determinan dari matriks dengan ordo n.
Teorema: Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar
(a) jika A memiliki suatu baris atau suatu kolom bilanngan nol, maka det(A) = 0
(b) det(A) = det(AT)
Bukti (a). Karena setiap hasil kali elementer bertanda dari A memiliki suatu faktor dari tiap baris dari suatu faktor dari tiap kolom, maka setiap hasilkali elementer akan memiliki satu faktor dari satu baris nol atau satu faktor dari satu kolom nol. Pada kasus-kasus seperti ini, setiap hasil kali elemennter bertanda adalah nol, dan det(A) yang merupakan jumlah dari semua hasilkali elementer bertanda adalah nol.
Saya meniadakan bukti dari bagian (b), tetapi mengingatbahwa suatu hasil kali elementer memiliki satu faktor dari tiap baris dan tiap kolom, maka jelaslah bahwa A dan AT memiliki himpunan hasil kali elementer yang tepat sama. Dengan bantuan bebrapa teorema permutasi, yang akan membawa kita terlalu jauh menyimpang jika dibahas, dapat ditunjukkan bahwa sesungguhnya A dan AT memiliki himpunan hasil kali elementer bertanda yang sama. Sehingga det(A) = det(AT).
CATATAN. Karena Teorema diatas, maka hammpir setiap teorema mengenai determinan yang mengandung kata “baris” dalam pernyataanya, juga akan benar jika kata “kolom” digantikan dengan “baris”. Untuk membuktikan pernyataan kolom, kita hanya perlu mentranspos matriks yang dipertanyakan untuk mengubah pernyataan kolom menjadi pernyataan baris kolom dan kemudian menerapkan hasil bersesuaian yang telah diketahui untuk baris-baris.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar